Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. МЕТОД НЬЮТОНА ТА
-АЛГОРИТМ Інструкція до лабораторної роботи № 4 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” Затверджено на засіданні кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики” Протокол № __ від __.___.2007 Львів 2007 Системи нелінійних рівнянь. Метод Ньютона та
-алгоритм: Інструкція до лабораторної роботи № 4 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007. – 40 с. Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент А.Г. Павельчак, асистент В.В. Самотий, д.т.н., професор Відповідальний за випуск: А.Й. Наконечний, д.т.н., професор Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор Мета роботи: ознайомитися з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона та екстраполяційним методом –
-алгоритмом. 1. Системи нелінійних рівнянь 1.1. Постановка задачі. Нехай для обчислення невідомих
необхідно розв’язати систему
нелінійних рівнянь
(1.1) У векторній формі система (1.1) записується так:
, (1.2) де
,
. Ця задача є значно складнішою, аніж розглянута в лабораторній роботі № 3 задача пошуку коренів нелінійного рівняння з одним невідомим. Але й на практиці вона зустрічається значно частіше, тому що в реальних дослідженням інтерес представляють системи з багатьма параметрами (іноді їх число сягає сотень чи тисяч). Знаходження точного розв’язку системи (1.1), тобто вектора
, практично неможливо. Лише в окремих випадках систему (1.1) можна розв’язати безпосередньо. Наприклад, для випадку двох рівнянь іноді вдається виразити одну невідому через іншу й, таким чином, звести задачу до пошуку кореня одного нелінійного рівняння. Тому розв’язок нелінійних систем шукають переважно лише ітераційними методами. Найпоширеніші серед них: метод простої ітерації, метод Зейделя та метод Ньютона. Важливим аспектом при розв’язуванні систем нелінійних рівнянь є усвідомлення того, що система може й не мати розв’язку, а у випадку його існування – кількість розв’язків може бути довільною. У загальному випадку складно визначити чи має система розв’язки та скільки їх. Пояснимо сказане на прикладі такої системи рівнянь
(1.3) Перше рівняння системи (1.3) задає на площині
еліпс, друге рівняння – параболу. Координати крапок перетину цих кривих є розв’язками системи. Якщо значення параметра
змінюється від
до
, то можливі такі варіанти (рис. 1):
– система розв’язку немає;
– єдиний розв’язок;
– два розв’язки;
– три розв’язки;
– чотири розв’язки. На рис. 2 зображено трьохмірну ілюстрацію графічного методу пошуку розв’язків системи нелінійних рівнянь (1.3) при
. Таким чином, для цієї системи рівнянь будуються поверхні функцій
,
 при широкому діапазонові змін
,
та шукаються крапки перетину цих поверхонь з площиною
. Перетини цих функцій на площині
і дадуть шукані розв’язки системи нелінійних рівнянь. 1.2. Основні етапи розв’язування. Як і у випадку рівняння з одним невідомим розв’язування нелінійної системи рівнянь здійснюється у три етапи: а) локалізація коренів та вибір початкових наближень
; б) ітераційне уточнення коренів; в) перевірка умови збіжності ітераційного процесу. На етапі локалізації для кожного із розв’язків
вказують множину, що містить лише цей розв’язок та розміщена в достатньо малій його околиці. Часто в якості такої множини вибирають паралелепіпед чи кулю в
-мірному просторі. Іноді етап локалізації не створює труднощів: відповідні множини можуть бути задані, визначені з фізичних міркувань, зі зм...